अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के नाभिलंब के एक सिरे पर स्पर्श रेखा की प्रवणता का परिमाण किसके बराबर है? (जहाँ $e$ अतिपरवलय की उत्केंद्रता है)

रेखाओं $x - y = 0$,$x + y = 0$ और अतिपरवलय $x^{2} - y^{2} = a^{2}$ के किसी भी स्पर्शरेखा द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?

मान लीजिए कि वृत्त $x^{2} + y^{2} - 2x + 2fy + 1 = 0$ के दो व्यासों के समीकरण $2px - y = 1$ और $2x + py = 4p$ हैं। तब वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली अतिपरवलय $3x^{2} - y^{2} = 3$ की स्पर्श रेखा की ढाल $m \in (0, \infty)$ किसके बराबर है?

यदि अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ की नाभियों के बीच की दूरी और नियताओं के बीच की दूरी का अनुपात $3: 2$ है,तो $a: b$ का मान क्या है?

अतिपरवलय $16x^2 - y^2 + 64x + 4y + 44 = 0$ के अनुप्रस्थ अक्ष (transverse axis) और संयुग्मी अक्ष (conjugate axis) के समीकरण ज्ञात कीजिए।

एक अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी $2x + 3y = 0$ और $3x + 2y = 0$ के समांतर हैं। उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र $(1, 2)$ है और जो $(5, 3)$ से होकर गुजरता है।